Aperçu du chapitre 2
Pour commencer ce chapitre :
On extrait des Eléments d’Euclide les principaux théorèmes qui vont être utilisés dans ce chapitre en montrant parfois l’insuffisance de leur démonstration et en indiquant ceux qui dépendent de P5. Par exemple :
Théorème 32: un des côtés de tout triangle étant prolongé, l’angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés. Et la somme des trois angles intérieurs est égale à deux droits.
On rajoute même quelques postulats qui manquent !
Ensuite :
On traite la géométrie de la sphère et on montre, en particulier le théorème suivant :
La somme des angles d’un triangle d’aire T est égale à Pi+T. Donc la somme des angles est supérieure à Pi.
Puis :
On s’intéresse aux travaux de Posidonius qui donne une nouvelle définition du parallélisme, d’Al Jahwari, Al Khayyam, Wallis qui remplacent le postulat 5 par un autre et qui essaient de s’en passer ou de le démontrer. On propose des démonstrations de leurs affirmations en utilisant uniquement les théorèmes d’Euclide et on essaie de montrer d’où viennent leurs erreurs.
Dans ce chapitre on s’intéresse beaucoup à Saccheri qui raisonne par l’absurde et qui tente de démontrer qu’il est impossible de construire une géométrie non euclidienne. Il échoue puisqu’il arrive à en construire une nouvelle… profondément déçu il ne publiera pas ses travaux.
Saccheri émet trois hypothèses: soit les angles C et D sont droits, soit ils sont obtus, soit ils sont aigus. Il espère arriver à une contradiction dans les deux derniers cas.
Puis :
On parlera aussi des approches de Lambert et Legendre et de leurs échecs.
Enfin :
On expose la géométrie de Lobatcheski qui, sous le titre de géométrie imaginaire, construit une géométrie non euclidienne.
Lobatchevski remplace le postulat 5 par le postulat suivant :
P’5: Soit P un point quelconque et une droite AB quelconque ne passant par P. Alors il existe deux droites CD et EF distinctes passant par P telles que :
1. CD et EF ne coupent pas AB même prolongées de chaque côté indéfiniment.
2. Toute droite passant par P et coupant l’angle CPF coupe AB.
3. Toute droite passant par P et coupant l’angle CPE ne coupe pas AB même prolongée indéfiniment.
Il existe donc une infinité de droites parallèles à AB passant par P !