Aperçu du chapitre 1
Dans ce chapitre, on fait un historique rapide de la géométrie. On parle des éléments d’Euclide et en particulier du postulat 5, de la différence entre postulat et axiome. Ce postulat est-il une vérité non démontrable ou indémontrable ? S’il est indémontrable, il existe d’autres géométries possibles. Pendant plus de deux mille ans on va se poser le problème.
On indique aussi les activités, telles que la peinture au XVIe ou la géométrie de la sphère, qui auraient pu amener à envisager de nouvelles géométries.
On essaie de montrer à quel point la perception du monde physique et les positions philosophiques, par exemple de Descartes, Pascal ou Kant, ont été un frein pour l’élaboration de nouvelles géométries alors que dans les Eléments d’Euclide il y en a le ferment et peut-être même chez Aristote.
Beaucoup de mathématiciens de l’Antiquité tels que Posidonius et Proclus, des mathématiciens arabes tels que ben Qurra ou Al Khayyam, des mathématiciens de du XVIIIe ou du XIXe tels que Saccheri ou Legendre,ont été intrigués par le postulat 5 et ont essayé de le démontrer. On indique leurs idées sans rentrer dans le détail. Cela sera l’objet du chapitre 2.
Puis on parle de Lobatchevski qui a été l’un des premiers rédacteurs d’une géométrie non euclidienne.
On cite pour finir les débats à la fin du XIXe sur les géométries non euclidiennes.
Extrait du chapitre :
Poincaré illustrera ce type de nouvelle géométrie de la manière suivante en inventant un univers dont on donnera une construction mathématique dans le chapitre 3.
On considère un monde dont les habitants sont enfermés dans un demi-plan P de bord D. Dans cet univers plus un habitant se rapproche du bord de P et plus il devient petit et donc que ses pas tendront vers 0 sans qu’il s’en aperçoive (en effet tout rapetisse autour de lui, ses instruments de mesure compris !).
Ainsi il ne pourra jamais atteindre le bord. Nous, de l’extérieur, avec notre œil “euclidien”, nous voyons bien que son univers est fini, mais lui le verra infini.
Pour joindre un point à un autre cet habitant n’aura pas toujours intérêt à aller en ligne droite: en effet plus il s’approche du bord et plus ses pas sont petits. Son expérience lui prouve que, pour aller d’un point à un autre, il aura intérêt à procéder de la manière suivante:
si les deux points forment une ligne perpendiculaire au bord de P il ira en ligne droite mais si les deux points ne forment pas une ligne perpendiculaire, il parcourra l’arc de cercle joignant les deux points et de centre un point du bord.
Une droite dans la géométrie euclidienne est le chemin le plus court d’un point à un autre. Si on part de cette définition, dans le demi-plan P les droites seront soit les segments de droites perpendiculaires au bord soit les arcs de cercles dont le centre est sur le bord. Ces droites vérifient les quatre premiers postulats mais pas P5.
