Aperçu du chapitre 3
Au début …
Jusqu’à présent on n’a pas parlé de distance. Une grandeur était plus petite qu’une autre parce que, en la déplaçant, elle était une partie de l’autre. Rappelons que pour Euclide il ne peut exister de distance absolue puisqu’il n’y a pas de nombres irrationnels et qu’aucune grandeur ne peut mesurer toutes les autres grandeurs.
A partir du moment où on introduit rigoureusement les nombres réels on peut parler d’une unité de mesure en géométrie et donc de distance. Dans la géométrie euclidienne quelle que soit la place de deux points dans l’espace ils vont être mesurés avec la même unité. Il n’y a pas de réflexion sur l’espace dans lequel on travaille: il est absolu. Tous les points ont le même “poids”.
Dans une géométrie non euclidienne, c’est cela qui va changer. On va travailler sur des surfaces sur lesquelles les points n’auront pas tous le même poids (notion que l’on définira précisément). On commencera par définir ce que l’on appelle une distance dans un espace donné.
Dans tout ce chapitre on travaillera dans des ouverts de l’ensemble des complexes.
Ensuite :
On travaillera sur les transformations de Moebius pour trouver les isométries du disque ou du demi plan de Poincaré, définir une distance et une géodésique.
Puis :
On fait un peu de géométrie hyperbolique: caractérisation d’une isométrie, somme des angles dans un triangle, périmètre d’un cercle hyperbolique, aire d’un disque, etc…
Enfin :
On fera le lien avec l’approche de Lobatchevski.